%!TEX program = xelatex
\documentclass[cn,hazy,blue,14pt,screen]{elegantnote}
\title{组会 3月6日}

\author{喻星纯}


\date{\today}

\usepackage{array}
\usepackage{float}
\usepackage{subfigure}

\begin{document}

\maketitle

\newpage

\section{数值实验}
\subsection*{柱坐标下sod激波管问题}
%平面几何下计算柱型sod问题
该问题是二维黎曼问题。计算区域为$[0,1]\times[0,1]$,初始时刻，半径方向的状态为，
\[
(\rho_0,u_0,v_0,p_0)=(1,0,0,1),0 \leq \sqrt{X^2+Y^2}<0.5
\]
\[
(\rho_1,u_1,v_1,p_1)=(0.125,0,0,0.1), 0.5 \leq \sqrt{X^2+Y^2} \leq 1
\]
计算区域的左边界$X=0$和下边界$Y=0$是反射边界，右边界$X=1$和上边界为$Y=1$为出流边界。两种材料均假定为理想气体，比热比分别为$\gamma_0=5/3,\gamma_1=1.4$。计算的终止时间为$0.25$，计算结果见图\ref{rho}-\ref{p3}。

\begin{figure}[htb]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{sod_image/sod_rho_cy.png}
	\caption{密度分布}
	\label{rho}
\end{figure}

该算例的自适应是以守恒量之和作为指示子。当计算区域的计算结果大于忍量(上限)时，网格会细化，该量与网格尺度的关系约为$O(h^2)$.如果所有的网格细化之后大于设定的总网格数量，忍量会扩大，反之会减小。
而程序本身会在相界面附近做网格细分。

当前的数值结果表明，该数值结果能够很好的展示相界面的位置。但是在该自适应指示子下，对于靠近内部的稀疏波和外部的激波的分辨率比较低。

\begin{figure}[htb]
	\centering
	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sod_image/sod_rho.png}
	\caption{三种角度的径向密度分布}
	\label{rho_sod}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sod_image/sod_u_norm.png}
	\caption{三种角度的径向速度模分布}
	\label{p2}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sod_image/sod_p.png}
	\caption{三种角度的径向压强分布}
	\label{p3}
\end{figure}

\subsection*{汇聚激波冲击圆柱界面问题}
本算例模拟了圆柱状汇聚激波冲击无扰动的界面现象。计算区域为边长为$50mm$的正方形区域。初始时刻，界面在$R_0=20mm$处，汇聚激波的初始位置在$R_1=47mm$处，初始压强均为标准大气压，冲击波初始马赫数$Ma=1.2$,气体的其他参数见表1，

\begin{table}[htb]
	\centering
	\small
	\caption{理想气体参数}
	\begin{tabular}{cccc}
		\toprule
	 气体	&       密度$\rho/(kg\cdot m^{-3})$         & 比热比$\gamma$      & 声速$c/(m \cdot s)$     \\
		\midrule
		空气     &   1.2      &      1.4 & 343     \\
		SF$_6$ &    6.07        &     1.1 & 135   \\
		\bottomrule
	\end{tabular}%
	\label{tab:ref1}%
\end{table}%

为了更好的追踪激波，该问题的自适应指示子直接选择两端的界面动量差。

数值结果有如下结论：
\begin{enumerate}
	\item 该算例是轻流体加速之后冲向重流体。理论结果表明，重流体中产生的透射激波是稀疏波。
	\item 激波汇聚到中心位置时，会产生一个密度很大的中心点。由于两种流体的密度比不大，最内部的流体被压缩的最小时，半径约为0.004。
	\item 流体的初速度也不高，激波经过一次反射就可以实现相界面向内-向外的过程。
\end{enumerate}



\subsection*{bmA3 算例}
目前来说，算好bmA3算例困难点如下，
\begin{enumerate}
	\item 由于两种流体的密度差很大。空气相被压缩到极限情况下，球会非常小。网格尺度最小需要更小。
	\item 重流体中的激波在轻流体中产生了激波。而该激波在密度，速度比比较大时，容易被忽略。
	\item 密度比大会导致激波经过多次反射才可能出现空气相再膨胀的过程。对相界面的稳定性保持要求比较高。
\end{enumerate}
下一步的工作需要估计守恒量的取值范围，调整指示子和参数，实现相界面稳定和激波的跟踪。


%\begin{lstlisting}[frame=none]  
%template <typename S0, typename S1>
%double jump_between_gammalawgas(const Types::point_t& pnt,
%int p0, const S0& sol0,
%int p1, const S1& sol1) {
%double val = 0.0;
%val += fabs(sol0(0) - sol1(0));
%val += fabs(sol0(1) - sol1(1));
%val += fabs(sol0(2) - sol1(2));
%val += fabs(sol0(3) - sol1(3));
%double rho = std::max(sol0(0), sol1(0));
%
%return 1.0e-07*val/rho;
%}
%\end{lstlisting}






\end{document}
